1. Indledning

Hvad er statistik?

Statistik er videnskaben om at indsamle, bearbejde, analysere og fortolke data for at træffe informerede beslutninger. Metoderne bruges i stort set alle sektorer — fra det offentlige til erhvervslivet — til at afdække mønstre, forudsige udviklingen og træffe bedre beslutninger.

I Danmark spiller statistik en central rolle i samfundet. Danmarks Statistik indsamler og offentliggør data om alt fra befolkningstal og arbejdsløshed til miljø og økonomi — data der danner grundlag for politiske beslutninger, forskning og erhvervsudvikling. Som studerende får du adgang til disse data, og i dette fag lærer du at arbejde med dem.

Alt omkring os er baseret på statistik:

• Statsministerens nytårstale — meningsmålinger og fokusgruppeanalyser afslører, hvilke emner der optager befolkningen mest, og former talens budskaber
• Hvornår der er grønt lys — trafikmodeller analyserer historiske trafikdata for at minimere ventetiden i krydsene
• Mængden af toiletruller på hylderne i Bilka — statistiske prognosemodeller baseret på salgshistorik og sæsonudsving styrer lagerstyringen
• Gratis drinks på kasinoet — sandsynlighedsregningSandsynlighedsregning handler om at beregne, hvor sandsynligt et udfald er — fx P(6) = 1/6 for en terning.
  ChatGPT gør det samme, bare med alle ord i sproget som mulige udfald i stedet for terningesider.
  
  Klik her for at lære mere i kapitel 16! sikrer, at huset vinder i det lange løb, så en gratis drink holder dig ved bordet lidt længere
• Netflix' filmanbefalinger — modellen sammenligner dit seermønster med millioner af andre brugeres adfærd for at forudsige, hvad du vil kunne lide
• Kunstig intelligens (AI) — algoritmer finder statistiske mønstre i enorme datamængder og bruger dem til at genkende billeder, stemmer og tekst
• Fremtidens solceller — statistiske modeller tester tusindvis af materialekombinationer for at finde dem med den højeste effektivitet
• Placering af vindmølleparker — Monte Carlo-simuleringMonte Carlo-simulering er en teknik, hvor man bruger en computer til at simulere tusindvis af tilfældige scenarier for at forudsige et resultat.
  Når man planlægger en vindmøllepark, simulerer man fx 10.000 forskellige vejr-scenarier for at se, hvor meget strøm parken vil producere i gennemsnit — og hvor meget det kan svinge. Metoden hedder Monte Carlo efter det berømte kasino, fordi den bygger på tilfældigheder.
  
  Klik her for at se Monte Carlo-simulering i kapitel 1! af vindforhold over årtier viser, hvor møllerne producerer mest energi
• Droneangreb i krigen i Ukraine — sandsynlighedsbaseret målsporing kombinerer sensordata for at forudsige, hvor et bevægeligt mål befinder sig i næste øjeblik
• Selvkørende biler — modellen opdaterer løbende sandsynligheden for forhindringer ud fra sensordata fra kamera, radar og lidar
• Chatbot-samtaler — modellen beregner for hvert ord sandsynligheden for, hvilket ord der kommer næst

Statistikkens historie — fra terningspil til kunstig intelligens

Her er de vigtigste personer og gennembrud bag statistikkens udvikling — fra breve om terningspil i 1654 til dagens AI-modeller.

Figur 1.1: Statistikkens historiske tidslinje — fra Pascals terningspil i 1654 til dagens AI-kapløb. Hver milepæl repræsenterer et gennembrud, der byggede videre på forgængernes arbejde.
Kilde: Egen tilvirkning.

AI og statistik — den nye revolution

Kunstig intelligens er egentlig blot statistik i stor skala. Modellerne bag ChatGPT, Claude, Gemini og selvkørende biler bygger på statistiske idéer, der går århundreder tilbage — fra Pascals sandsynlighedsregningSandsynlighedsregning handler om at beregne, hvor sandsynligt et udfald er — fx P(6) = 1/6 for en terning.
ChatGPT gør det samme, bare med alle ord i sproget som mulige udfald i stedet for terningesider.

Klik her for at lære mere i kapitel 16! til Legendres og Gauss' mindste kvadraters metodeMindste kvadraters metode (OLS — Ordinary Least Squares) finder den bedste rette linje gennem datapunkter ved at minimere summen af de kvadrerede afstande fra punkterne til linjen.
Adrien-Marie Legendre publicerede metoden først i 1805; Carl Friedrich Gauss hævdede at have brugt den allerede fra 1795, men offentliggjorde først sin udgave i 1809. Metoden er stadig grundlaget for lineær regression og mange AI-modeller — hvert lag i et neuralt netværk er i bund og grund en lineær regression.

Klik her for at lære mere om lineær regression i kapitel 11!.

ChatGPT — hvad sker der i modellen?

Når du skriver til ChatGPT — eller Claude, Gemini, Grok eller DeepSeek — gør modellen egentlig kun én ting, igen og igen: For hvert ord beregner den sandsynligheden for, hvilket ord der kommer næst. Det er derfor, den kaldes en sprogmodelEn sprogmodel er et computerprogram, der har lært sprog ved at læse enorme mængder tekst. Den kender ikke sprog på samme måde som et menneske — den har lært statistiske mønstre: Hvilke ord følger typisk efter hinanden?
ChatGPT er en sprogmodel trænet på tekst svarende til millioner af bøger. Den har ikke "forstået" noget — men den er ekstremt god til at forudsige, hvad der sandsynligvis kommer næst i en samtale.
Hvert eneste ord, ChatGPT skriver, er resultatet af en sandsynlighedsberegning: Givet alle de foregående ord, hvad er så det mest sandsynlige næste ord?

Læs mere om sprogmodeller i kapitel 1!. Den har læst en enorm mængde tekst, anslået svarende til millioner af bøger, og har på den måde lært, hvilke ord der typisk følger efter hinanden.

Hvordan hænger det sammen med statistik og regning? Bag ved ligger følgende fra pensum:

• SandsynlighedsregningSandsynlighedsregning handler om at beregne, hvor sandsynligt et udfald er — fx P(6) = 1/6 for en terning.
  ChatGPT gør det samme, bare med alle ord i sproget som mulige udfald i stedet for terningesider.
  
  Klik her for at lære mere i kapitel 16! — Modellen beregner P(næste ord | foregående ord). Det er præcis den samme logik som i kapitel 16 om sandsynlighederSandsynlighedsregning handler om at beregne, hvor sandsynligt et udfald er — fx P(6) = 1/6 for en terning.
  ChatGPT gør det samme, bare med alle ord i sproget som mulige udfald i stedet for terningesider.
  
  Klik her for at lære mere i kapitel 16! — bare med millioner af mulige udfald (alle ord i sproget) i stedet for terninger.
• Regression, lag for lag — Hvert lag i et neuralt netværkEt neuralt netværk er en computermodel inspireret af hjernens nerveceller. Det består af flere lag, hvor hvert lag laver en simpel beregning og sender resultatet videre til næste lag.
  Hvis man forestiller sig et samlebånd: Information kommer ind i den ene ende, bliver behandlet i flere trin, og resultatet kommer ud i den anden ende. Hvert trin (lag) er i bund og grund en lille statistisk beregning.
  Et neuralt netværk er i virkeligheden en stak af lineære regressioner stablet oven på hinanden — med et lille knæk i kurven mellem hvert lag, så netværket kan lære komplicerede, buede mønstre.
  
  Klik her for at lære mere om den bagvedliggende teknik — lineær regression — i kapitel 11! er en lineær regressionLineær regression handler om at finde en simpel sammenhæng mellem to ting — fx temperatur (X) og issalg (Y). Hvor mange is sælger en kiosk, når temperaturen er 27 grader? Man samler data for temperaturer og issalg, tegner den bedste rette linje gennem punkterne — og aflæser svaret. Det er lineær regression.
  Ved multipel lineær regression bruger man flere X-variable samtidig — fx både temperatur, ugedag og om det er ferie — for at forudsige Y (issalget) mere præcist.
  
  Klik her for at lære mere om lineær regressionsanalyse! (se kapitel 11). En moderne sprogmodelEn sprogmodel er et computerprogram, der har lært sprog ved at læse enorme mængder tekst. Den kender ikke sprog på samme måde som et menneske — den har lært statistiske mønstre: Hvilke ord følger typisk efter hinanden?
  ChatGPT er en sprogmodel trænet på tekst svarende til millioner af bøger. Den har ikke "forstået" noget — men den er ekstremt god til at forudsige, hvad der sandsynligvis kommer næst i en samtale.
  Hvert eneste ord, ChatGPT skriver, er resultatet af en sandsynlighedsberegning: Givet alle de foregående ord, hvad er så det mest sandsynlige næste ord?
  
  Læs mere om sprogmodeller i kapitel 1! har hundredvis af lag stablet oven på hinanden, og hvert lag justerer sandsynlighederneSandsynlighedsregning handler om at beregne, hvor sandsynligt et udfald er — fx P(6) = 1/6 for en terning.
  ChatGPT gør det samme, bare med alle ord i sproget som mulige udfald i stedet for terningesider.
  
  Klik her for at lære mere i kapitel 16! en smule.
• RegnekraftRegnekraft måler, hvor meget computerkraft AI-træning kræver — typisk i PF-dage (petaflop-dage).
  At træne en top-LLM kræver anslået 50.000+ PF-dage — dvs. millioner af GPU'er, der kører i ugevis. Jo flere parametre, jo mere træningsdata og jo længere træningstid, desto bedre forudsigelser — men prisen stiger eksponentielt.
  
  Klik her for at læse mere om regnekraft i kapitel 1! som omkostning — At træne en af de største sprogmodellerEn sprogmodel er et computerprogram, der har lært sprog ved at læse enorme mængder tekst. Den kender ikke sprog på samme måde som et menneske — den har lært statistiske mønstre: Hvilke ord følger typisk efter hinanden?
  ChatGPT er en sprogmodel trænet på tekst svarende til millioner af bøger. Den har ikke "forstået" noget — men den er ekstremt god til at forudsige, hvad der sandsynligvis kommer næst i en samtale.
  Hvert eneste ord, ChatGPT skriver, er resultatet af en sandsynlighedsberegning: Givet alle de foregående ord, hvad er så det mest sandsynlige næste ord?
  
  Læs mere om sprogmodeller i kapitel 1! kræver anslået 50.000+ petaflop-dagePF-dage (petaflop-dage) måler computerkraft til AI-træning. 1 petaflop = 10¹⁵ regneoperationer pr. sekund — et tal med 15 nuller. En PF-dag er den regnekraft én GPU leverer på en hel dag.
  Træning af de største sprogmodeller kræver tit 50.000–200.000+ PF-dage — dvs. millioner af GPU'er der kører i ugevis. Jo flere parametre, jo mere træningsdata og jo længere træningstid, desto bedre forudsigelser — men prisen stiger eksponentielt.
  
  Klik her for at se PF-dage i AI-afsnittet!, altså millioner af GPUGPU (Graphics Processing Unit) er en chip designet til massivt parallel regning. Oprindeligt til grafik i spil, men AI-træning kører på tusindvis af GPU'er ad gangen, fordi de kan lave milliarder af beregninger samtidig.
  xAI's Grok-3 blev trænet på 200.000 GPU'er i supercomputeren Colossus.
  
  Klik her for at se GPU'er i AI-afsnittet!'er, der har kørt i ugevis. Jo flere parametreEn parameter betegner en ukendt konstant i en statistisk model eller formel, ud fra en stikprøve estimeres (gættes kvalificeret på) dens værdi.
  En parameter kan fx. være β, μ, p, σ etc.
  Vi ønsker at udtale os om danske mænds højde, populationen er så danske mænd. Stikprøve gennemsnittet for fx. 100 mænds højde 179,34 cm. er parameter estimatet (gættet på middelværdien i populationen). Den sande ukendte parameter i populationen er altså middelhøjden i populationen μ
  
  I AI-sammenhæng bruges ordet parametre om de tal modellen justerer under træning — som knapper på et kæmpe regneapparat. GPT-1 havde 117 millioner parametre; de største modeller anslås til billioner.
  Flere parametre = modellen kan skelne mellem flere sproglige mønstre — men det koster eksponentielt mere at træne.
  
  Klik her for at lære mere om parametre og parameter-estimater!, jo mere træningsdataTræningsdata er den tekst, kode og billeder en AI-model har læst under træning. Mere data giver bedre sprogforståelse — som at læse flere bøger.
  Kapløbet mellem ChatGPT, Claude, Gemini og DeepSeek handler i høj grad om parametre, træningsdata og regnekraft — men matematikken er den samme: sandsynlighedsberegning for det næste ord.
  
  Klik her for at læse mere om træningsdata i kapitel 1! og jo længere træningstid, desto bedre bliver forudsigelserne — men prisen stiger eksponentielt.

Figur 1.2: Udviklingen i store sprogmodellerEn sprogmodel er et computerprogram, der har lært sprog ved at læse enorme mængder tekst. Den kender ikke sprog på samme måde som et menneske — den har lært statistiske mønstre: Hvilke ord følger typisk efter hinanden?
ChatGPT er en sprogmodel trænet på tekst svarende til millioner af bøger. Den har ikke "forstået" noget — men den er ekstremt god til at forudsige, hvad der sandsynligvis kommer næst i en samtale.
Hvert eneste ord, ChatGPT skriver, er resultatet af en sandsynlighedsberegning: Givet alle de foregående ord, hvad er så det mest sandsynlige næste ord?

Læs mere om sprogmodeller i kapitel 1! — kort LLMLLM (Large Language Model) = stor sprogmodel. Uanset om det er ChatGPT, Claude, Gemini, Grok eller DeepSeek, gør de alle det samme: beregner sandsynligheden for det næste ord givet konteksten.
Forskellen ligger i størrelse, træningsdata og regnekraft — ikke i den grundlæggende matematik.

Klik her for at læse mere om LLM'er i kapitel 1! (Large Language Model) — 2018–2026 fra OpenAI, Anthropic, Google, xAI og Kina. Boblediagrammet viser år og parametreEn parameter betegner en ukendt konstant i en statistisk model eller formel, ud fra en stikprøve estimeres (gættes kvalificeret på) dens værdi.
En parameter kan fx. være β, μ, p, σ etc.
Vi ønsker at udtale os om danske mænds højde, populationen er så danske mænd. Stikprøve gennemsnittet for fx. 100 mænds højde 179,34 cm. er parameter estimatet (gættet på middelværdien i populationen). Den sande ukendte parameter i populationen er altså middelhøjden i populationen μ

I AI-sammenhæng bruges ordet parametre om de tal modellen justerer under træning — som knapper på et kæmpe regneapparat. GPT-1 havde 117 millioner parametre; de største modeller anslås til billioner.
Flere parametre = modellen kan skelne mellem flere sproglige mønstre — men det koster eksponentielt mere at træne.

Klik her for at lære mere om parametre og parameter-estimater!; boblestørrelsen angiver træningsomkostning i regnekraftRegnekraft måler, hvor meget computerkraft AI-træning kræver — typisk i PF-dage (petaflop-dage).
At træne en top-LLM kræver anslået 50.000+ PF-dage — dvs. millioner af GPU'er, der kører i ugevis. Jo flere parametre, jo mere træningsdata og jo længere træningstid, desto bedre forudsigelser — men prisen stiger eksponentielt.

Klik her for at læse mere om regnekraft i kapitel 1!. Farve angiver udbyder — hold musen over en boble for parametreEn parameter betegner en ukendt konstant i en statistisk model eller formel, ud fra en stikprøve estimeres (gættes kvalificeret på) dens værdi.
En parameter kan fx. være β, μ, p, σ etc.
Vi ønsker at udtale os om danske mænds højde, populationen er så danske mænd. Stikprøve gennemsnittet for fx. 100 mænds højde 179,34 cm. er parameter estimatet (gættet på middelværdien i populationen). Den sande ukendte parameter i populationen er altså middelhøjden i populationen μ

I AI-sammenhæng bruges ordet parametre om de tal modellen justerer under træning — som knapper på et kæmpe regneapparat. GPT-1 havde 117 millioner parametre; de største modeller anslås til billioner.
Flere parametre = modellen kan skelne mellem flere sproglige mønstre — men det koster eksponentielt mere at træne.

Klik her for at lære mere om parametre og parameter-estimater!, træningsdataTræningsdata er den tekst, kode og billeder en AI-model har læst under træning. Mere data giver bedre sprogforståelse — som at læse flere bøger.
Kapløbet mellem ChatGPT, Claude, Gemini og DeepSeek handler i høj grad om parametre, træningsdata og regnekraft — men matematikken er den samme: sandsynlighedsberegning for det næste ord.

Klik her for at læse mere om træningsdata i kapitel 1! og regnekraftRegnekraft måler, hvor meget computerkraft AI-træning kræver — typisk i PF-dage (petaflop-dage).
At træne en top-LLM kræver anslået 50.000+ PF-dage — dvs. millioner af GPU'er, der kører i ugevis. Jo flere parametre, jo mere træningsdata og jo længere træningstid, desto bedre forudsigelser — men prisen stiger eksponentielt.

Klik her for at læse mere om regnekraft i kapitel 1!. Antallet af parametreEn parameter betegner en ukendt konstant i en statistisk model eller formel, ud fra en stikprøve estimeres (gættes kvalificeret på) dens værdi.
En parameter kan fx. være β, μ, p, σ etc.
Vi ønsker at udtale os om danske mænds højde, populationen er så danske mænd. Stikprøve gennemsnittet for fx. 100 mænds højde 179,34 cm. er parameter estimatet (gættet på middelværdien i populationen). Den sande ukendte parameter i populationen er altså middelhøjden i populationen μ

I AI-sammenhæng bruges ordet parametre om de tal modellen justerer under træning — som knapper på et kæmpe regneapparat. GPT-1 havde 117 millioner parametre; de største modeller anslås til billioner.
Flere parametre = modellen kan skelne mellem flere sproglige mønstre — men det koster eksponentielt mere at træne.

Klik her for at lære mere om parametre og parameter-estimater! er vokset fra 117 millioner til anslået trillioner, men regnestykket er det samme: flere parametreEn parameter betegner en ukendt konstant i en statistisk model eller formel, ud fra en stikprøve estimeres (gættes kvalificeret på) dens værdi.
En parameter kan fx. være β, μ, p, σ etc.
Vi ønsker at udtale os om danske mænds højde, populationen er så danske mænd. Stikprøve gennemsnittet for fx. 100 mænds højde 179,34 cm. er parameter estimatet (gættet på middelværdien i populationen). Den sande ukendte parameter i populationen er altså middelhøjden i populationen μ

I AI-sammenhæng bruges ordet parametre om de tal modellen justerer under træning — som knapper på et kæmpe regneapparat. GPT-1 havde 117 millioner parametre; de største modeller anslås til billioner.
Flere parametre = modellen kan skelne mellem flere sproglige mønstre — men det koster eksponentielt mere at træne.

Klik her for at lære mere om parametre og parameter-estimater! giver bedre sandsynlighedsestimater, og regnekraftenRegnekraft måler, hvor meget computerkraft AI-træning kræver — typisk i PF-dage (petaflop-dage).
At træne en top-LLM kræver anslået 50.000+ PF-dage — dvs. millioner af GPU'er, der kører i ugevis. Jo flere parametre, jo mere træningsdata og jo længere træningstid, desto bedre forudsigelser — men prisen stiger eksponentielt.

Klik her for at læse mere om regnekraft i kapitel 1! vokser endnu hurtigere. Alle modeller bruger den samme statistiske kerne: sandsynlighedsberegning for det næste ord.
Kilde: Egen tilvirkning baseret på OpenAI (2018–2026), Anthropic (2023–2026), Google DeepMind (2023–2026), xAI (2023–2026), Baidu/Alibaba/DeepSeek (2023–2026). *Estimater hvor udbyderen ikke har offentliggjort tal. PF-dagePF-dage (petaflop-dage) måler computerkraft til AI-træning. 1 petaflop = 10¹⁵ regneoperationer pr. sekund — et tal med 15 nuller. En PF-dag er den regnekraft én GPU leverer på en hel dag.
Træning af de største sprogmodeller kræver tit 50.000–200.000+ PF-dage — dvs. millioner af GPU'er der kører i ugevis. Jo flere parametre, jo mere træningsdata og jo længere træningstid, desto bedre forudsigelser — men prisen stiger eksponentielt.

Klik her for at se PF-dage i AI-afsnittet! = petaflop-dagePF-dage (petaflop-dage) måler computerkraft til AI-træning. 1 petaflop = 10¹⁵ regneoperationer pr. sekund — et tal med 15 nuller. En PF-dag er den regnekraft én GPU leverer på en hel dag.
Træning af de største sprogmodeller kræver tit 50.000–200.000+ PF-dage — dvs. millioner af GPU'er der kører i ugevis. Jo flere parametre, jo mere træningsdata og jo længere træningstid, desto bedre forudsigelser — men prisen stiger eksponentielt.

Klik her for at se PF-dage i AI-afsnittet! (1 PF = 10¹⁵ floating-point operationer).

Fra lineær regression til neurale netværk

Et neuralt netværkEt neuralt netværk er en computermodel inspireret af hjernens nerveceller. Det består af flere lag, hvor hvert lag laver en simpel beregning og sender resultatet videre til næste lag.
Hvis man forestiller sig et samlebånd: Information kommer ind i den ene ende, bliver behandlet i flere trin, og resultatet kommer ud i den anden ende. Hvert trin (lag) er i bund og grund en lille statistisk beregning.
Et neuralt netværk er i virkeligheden en stak af lineære regressioner stablet oven på hinanden — med et lille knæk i kurven mellem hvert lag, så netværket kan lære komplicerede, buede mønstre.

Klik her for at lære mere om den bagvedliggende teknik — lineær regression — i kapitel 11! er egentlig blot en stak af simple statistiske beregninger — dem vi kalder lineær regressionLineær regression handler om at finde en simpel sammenhæng mellem to ting — fx temperatur (X) og issalg (Y). Hvor mange is sælger en kiosk, når temperaturen er 27 grader? Man samler data for temperaturer og issalg, tegner den bedste rette linje gennem punkterne — og aflæser svaret. Det er lineær regression.
Ved multipel lineær regression bruger man flere X-variable samtidig — fx både temperatur, ugedag og om det er ferie — for at forudsige Y (issalget) mere præcist.

Klik her for at lære mere om lineær regressionsanalyse! — stablet oven på hinanden. Mellem hvert lag tilføjes et lille knæk på kurven, en såkaldt aktiveringsfunktion, der bøjer det lineære resultat. Lineær regressionLineær regression handler om at finde en simpel sammenhæng mellem to ting — fx temperatur (X) og issalg (Y). Hvor mange is sælger en kiosk, når temperaturen er 27 grader? Man samler data for temperaturer og issalg, tegner den bedste rette linje gennem punkterne — og aflæser svaret. Det er lineær regression.
Ved multipel lineær regression bruger man flere X-variable samtidig — fx både temperatur, ugedag og om det er ferie — for at forudsige Y (issalget) mere præcist.

Klik her for at lære mere om lineær regressionsanalyse! alene giver en ret linje, men med knækkene mellem lagene kan netværket forme buede og sammenfiltrede mønstre.

Et dybt neuralt netværkEt neuralt netværk er en computermodel inspireret af hjernens nerveceller. Det består af flere lag, hvor hvert lag laver en simpel beregning og sender resultatet videre til næste lag.
Hvis man forestiller sig et samlebånd: Information kommer ind i den ene ende, bliver behandlet i flere trin, og resultatet kommer ud i den anden ende. Hvert trin (lag) er i bund og grund en lille statistisk beregning.
Et neuralt netværk er i virkeligheden en stak af lineære regressioner stablet oven på hinanden — med et lille knæk i kurven mellem hvert lag, så netværket kan lære komplicerede, buede mønstre.

Klik her for at lære mere om den bagvedliggende teknik — lineær regression — i kapitel 11! med 100 lag laver altså 100 beregninger i træk. Selve metoden til at træne netværket, gradient descentGradient descent er en optimeringsmetode, der trinvist finder den bedste løsning. Man starter med et gæt og justerer lidt efter lidt, indtil man ikke kan komme tættere på målet.
Hvis man forestiller sig at stå på et bjerg i tåge og skal finde den laveste dal: Man kan ikke se hele landskabet, men man kan mærke hældningen under fødderne. Man tager et lille skridt nedad, mærker igen, og fortsætter — indtil man står i bunden af dalen.
Gradient descent bruges til at træne neurale netværk og mange andre maskinlæringsmodeller. Metoden bygger på samme grundidé som mindste kvadraters metode: at finde parametre ved at minimere en fejlfunktion.

Klik her for at lære mere om optimering i kapitel 11!, bygger på samme grundidé som mindste kvadraters metodeMindste kvadraters metode (OLS — Ordinary Least Squares) finder den bedste rette linje gennem datapunkter ved at minimere summen af de kvadrerede afstande fra punkterne til linjen.
Adrien-Marie Legendre publicerede metoden først i 1805; Carl Friedrich Gauss hævdede at have brugt den allerede fra 1795, men offentliggjorde først sin udgave i 1809. Metoden er stadig grundlaget for lineær regression og mange AI-modeller — hvert lag i et neuralt netværk er i bund og grund en lineær regression.

Klik her for at lære mere om lineær regression i kapitel 11!: at finde parametreEn parameter betegner en ukendt konstant i en statistisk model eller formel, ud fra en stikprøve estimeres (gættes kvalificeret på) dens værdi.
En parameter kan fx. være β, μ, p, σ etc.
Vi ønsker at udtale os om danske mænds højde, populationen er så danske mænd. Stikprøve gennemsnittet for fx. 100 mænds højde 179,34 cm. er parameter estimatet (gættet på middelværdien i populationen). Den sande ukendte parameter i populationen er altså middelhøjden i populationen μ

I AI-sammenhæng bruges ordet parametre om de tal modellen justerer under træning — som knapper på et kæmpe regneapparat. GPT-1 havde 117 millioner parametre; de største modeller anslås til billioner.
Flere parametre = modellen kan skelne mellem flere sproglige mønstre — men det koster eksponentielt mere at træne.

Klik her for at lære mere om parametre og parameter-estimater! ved at minimere en fejlfunktion.

AI-genererede billeder — hvordan laver en computer et billede fra bunden?

Værktøjer som DALL-E, Midjourney og Stable Diffusion kan generere et helt nyt billede ud fra en tekstbeskrivelse — fx en produktvisualisering eller en bygning, der endnu ikke er opført. Men hvordan bærer en computer sig egentlig ad med det?

Metoden går ud på at tænke baglæns. Ligesom en billedhugger, der mejsler en statue frem af en rå marmorblok, starter computeren med et billede bestående af ren, tilfældig støj. Ud fra en tekstbeskrivelse, fx "en bygning i tre etager med fladt tag", beregner den, hvordan billedet ville se ud med en smule mindre støj, hvis det rent faktisk gemmer på det motiv.

Beregningen gentages: Støjen reduceres en smule, resultatet vurderes på ny, og støjen reduceres yderligere. Efter 50-100 gentagelser er støjen væk, og tilbage står bygningen.

Modellen har lært dette ved at se millioner af rigtige billeder, hvor man bevidst har tilføjet støj. Ved at øve sig i at fjerne støjen igen har den lært at genkende det oprindelige motiv — uanset om det er en bygning, et produkt eller noget andet.

Dataindsamlingens eksplosive vækst

Vi indsamler og producerer data hurtigere end nogensinde før. Fra hulkort i 1950'erne til zettabyteEn zettabyte er en enhed for datamængde. 1 zettabyte = 1 billion gigabyte — eller nok data til at fylde 250 milliarder DVD'er.
De vigtigste dataenheder:
• 1 kilobyte (KB) = 1.000 byte ~ en kort e-mail
• 1 megabyte (MB) = 1.000 KB ~ et digitalt foto
• 1 gigabyte (GB) = 1.000 MB ~ en HD-film
• 1 terabyte (TB) = 1.000 GB ~ indholdet på 1.500 CD'er
• 1 petabyte (PB) = 1.000 TB ~ al data Google behandler på en time
• 1 exabyte (EB) = 1.000 PB ~ al internettrafik på en dag
• 1 zettabyte (ZB) = 1.000 EB ~ hele verdens data i 2010

Klik her for at læse mere om datavækst i kapitel 1!-skalaen i dag — væksten er nærmest ufattelig.

Figur 1.3: Global datamængde 1950–2025 (i zettabyteEn zettabyte er en enhed for datamængde. 1 zettabyte = 1 billion gigabyte — eller nok data til at fylde 250 milliarder DVD'er.
De vigtigste dataenheder:
• 1 kilobyte (KB) = 1.000 byte ~ en kort e-mail
• 1 megabyte (MB) = 1.000 KB ~ et digitalt foto
• 1 gigabyte (GB) = 1.000 MB ~ en HD-film
• 1 terabyte (TB) = 1.000 GB ~ indholdet på 1.500 CD'er
• 1 petabyte (PB) = 1.000 TB ~ al data Google behandler på en time
• 1 exabyte (EB) = 1.000 PB ~ al internettrafik på en dag
• 1 zettabyte (ZB) = 1.000 EB ~ hele verdens data i 2010

Klik her for at læse mere om datavækst i kapitel 1!). Hold musen over en søjle for datamængde, antal forbundne enheder og historisk kontekst. Væksten accelererer — fra nogle få megabyte i 1950'erne til anslået 180 zettabyteEn zettabyte er en enhed for datamængde. 1 zettabyte = 1 billion gigabyte — eller nok data til at fylde 250 milliarder DVD'er.
De vigtigste dataenheder:
• 1 kilobyte (KB) = 1.000 byte ~ en kort e-mail
• 1 megabyte (MB) = 1.000 KB ~ et digitalt foto
• 1 gigabyte (GB) = 1.000 MB ~ en HD-film
• 1 terabyte (TB) = 1.000 GB ~ indholdet på 1.500 CD'er
• 1 petabyte (PB) = 1.000 TB ~ al data Google behandler på en time
• 1 exabyte (EB) = 1.000 PB ~ al internettrafik på en dag
• 1 zettabyte (ZB) = 1.000 EB ~ hele verdens data i 2010

Klik her for at læse mere om datavækst i kapitel 1! i 2025.
Kilde: IDC (2017), "Data Age 2025: The Evolution of Data to Life-Critical", white paper sponsoreret af Seagate; Statista (2024), "Volume of data/information created, captured, copied, and consumed worldwide from 2010 to 2028"; Cisco Annual Internet Report (2020) for antal forbundne enheder. *Estimater for 2025.

Eksempler fra den virkelige verden

Politik, samfund og medier

Fokusgrupper bruges ofte af analyseinstitutter til at indsamle kvalitative data om befolkningens holdninger, bekymringer og forventninger. En erfaren statsminister bruger analyserne til at sikre, at nytårstalen rammer de emner, der optager befolkningen mest.

Meningsmålinger er et klassisk eksempel på stikprøveteoriEn stikprøve, er et udsnit af populationen (den store mængde vi ønsker at udtale os om), hvis stikprøven afspejler populationen korrekt, siger vi stikprøven er repræsentativ.
Vi bruger stikprøver, da det er billigere end at undersøge hele populationen.
Hvis vi fx. ønsker at udtale os om danske mænds gennemsnitlige højde, kan vi udtage en stikprøve, hvor vi måler 100 mænds højde.
Stikprøven består så af de 100 målinger af højderne, populationen er så alle danske mænd.

Klik her for at lære mere om stikprøver!
i praksis: Spørger man ~1.000 tilfældigt udvalgte personer, kan man med statistisk sikkerhed udtale sig om hele befolkningens holdning — forudsat stikprøvenEn stikprøve, er et udsnit af populationen (den store mængde vi ønsker at udtale os om), hvis stikprøven afspejler populationen korrekt, siger vi stikprøven er repræsentativ.
Vi bruger stikprøver, da det er billigere end at undersøge hele populationen.
Hvis vi fx. ønsker at udtale os om danske mænds gennemsnitlige højde, kan vi udtage en stikprøve, hvor vi måler 100 mænds højde.
Stikprøven består så af de 100 målinger af højderne, populationen er så alle danske mænd.

Klik her for at lære mere om stikprøver!
er repræsentativ.

Erhverv, finans og ejendom

I bankverdenen er statistik vigtig, når man sammensætter investeringer. Ved at vælge aktier, der ikke svinger ens — fx FL Smidth (følger konjunkturerne) og Novo (stabilt) — kan man sænke risikoen i porteføljen. Det kaldes diversificering og bygger på kovarians og korrelationKorrelationen angiver hvor meget 2 variable samvarierer, vi kan måle korrelationen vha. korrelationskoefficienten der er et tal mellem -1 og 1.
Korrelationskoefficienten er klart positiv hvis høje og lave værdier for den ene variabel følges med høje og lave værdier for den anden variabel.
Korrelationskoefficienten er klart negativ hvis høje og lave værdier for den ene variabel følges med lave og høje værdier for den anden variabel.
Er der ingen samvariation mellem 2 variable er korrelationskoefficienten tæt på 0.
Korrelationskoefficienten i en kiosk mellem afsætning af is og temperaturen vil være positiv, jo koldere/varmere det er jo mindre/større afsætning af is.
Korrelationskoefficienten i en kiosk mellem afsætning af varm kakao og temperaturen vil være negativ, jo koldere/varmere det er jo større/mindre afsætning af kakao.
For to variable som ikke er korrelerede (de samvarierer ikke) som fx. Apple aktie kursen og nedbørsmængden i Dragør, vil vi få en korrelationskoefficient tæt på 0.

Klik her for at lære mere om korrelationsanalyse! mellem aktiernes afkast.

Forsikringsselskaber bruger statistik til at fastsætte priser. Hvad er sandsynligheden for, at et hus brænder? Selskaberne ser på postnummer, hustype, tagmateriale og meget mere for at beregne præmien — en anvendelse af sandsynlighedsregningSandsynlighedsregning handler om at beregne, hvor sandsynligt et udfald er — fx P(6) = 1/6 for en terning.
ChatGPT gør det samme, bare med alle ord i sproget som mulige udfald i stedet for terningesider.

Klik her for at lære mere i kapitel 16! og regressionsmodeller.

Finansielle institutioner bruger statistiske modeller til at vurdere risici og overholde lovkrav — fx ved stresstest af bankers kapitalgrundlag og modellering af kreditrisiko.

På ejendomsmarkedet bruger mæglere multipel lineær regressionLineær regression handler om at finde en simpel sammenhæng mellem to ting — fx temperatur (X) og issalg (Y). Hvor mange is sælger en kiosk, når temperaturen er 27 grader? Man samler data for temperaturer og issalg, tegner den bedste rette linje gennem punkterne — og aflæser svaret. Det er lineær regression.
Ved multipel lineær regression bruger man flere X-variable samtidig — fx både temperatur, ugedag og om det er ferie — for at forudsige Y (issalget) mere præcist.

Klik her for at lære mere om lineær regressionsanalyse! til at vurdere boligpriser. Modellen inkluderer faktorer som størrelse, byggeår, energimærke og tagtype.

Sundhed og miljø

I sundhedssektoren er statistik afgørende for at teste ny medicin og forbedre patientbehandlinger. Før et nyt lægemiddel godkendes, skal statistiske tests — typisk randomiserede kontrollerede forsøg — bevise, at det rent faktisk virker.

Klimamodellerne i FN's klimarapporter bygger på tidsserieanalyser af globale temperaturdata — samme statistiske metoder, der også bruges til at overvåge biodiversitet og forudsige miljøpåvirkninger.

Case: Bill Benter — statistikeren der slog markedet

Bill Benter er en amerikansk matematiker, som blev ekstremt velhavende ved at udvikle en avanceret logistisk regressionsmodel til at forudsige udfaldet af hestevæddeløb i Hong Kong. Inden da havde han i flere år levet af at tælle kort ved blackjackbordene i Las Vegas — en lovlig, men uønsket teknik, hvor man holder styr på, hvilke kort der allerede er spillet, for at forskyde sandsynlighederneSandsynlighedsregning handler om at beregne, hvor sandsynligt et udfald er — fx P(6) = 1/6 for en terning.
ChatGPT gør det samme, bare med alle ord i sproget som mulige udfald i stedet for terningesider.

Klik her for at lære mere i kapitel 16! til sin egen fordel. Casinoerne opdagede mønsteret, og Benter blev smidt ud og blacklistet fra flere spillehuse. Det fik ham til at lede efter et spil, hvor evnen til at regne på sandsynlighederSandsynlighedsregning handler om at beregne, hvor sandsynligt et udfald er — fx P(6) = 1/6 for en terning.
ChatGPT gør det samme, bare med alle ord i sproget som mulige udfald i stedet for terningesider.

Klik her for at lære mere i kapitel 16! ikke kunne stoppes ved døren.

I 1980'erne anvendte Benter sine færdigheder i statistik og computersoftware til at skabe en model, der analyserede utallige faktorer, der påvirkede hestenes præstationer — alt fra tidligere resultater og baneforhold til jockeyens vægt. Sammen med den professionelle spiller Alan Woods byggede han et system, der brugte markedets egne odds som en ekstra datakilde: I stedet for kun at forudsige, hvem der ville vinde, satsede modellen udelukkende, når den vurderede sandsynligheden markant anderledes end resten af markedet.

Over tid blev hans model mere raffineret og præcis — selv vægten af hestenes gødning blev benyttet som input. Bill Benter tjente millioner af dollars, og Hong Kong Jockey Club, der administrerede alle væddemålene, frygtede ham, da han forudsagde vindere bedre end eksperterne og kostede dem formuer.

Case: Orley Ashenfelter — statistikeren der forudsagde vinpriser

Orley Ashenfelter, en Princeton-økonom, udviklede i 1980'erne en statistisk model til at forudsige vinpriser baseret på nedbør, solskinstimer og andre klimadata. Hele den etablerede vinverden var i oprør — ved en præsentation i Christie's vinafdeling blev han buhet ud. Den verdenskendte vinkender Robert Parker udtalte: "Det svarer til en filmanmelder, der ikke ser filmen, men udelukkende baserer sin anmeldelse på instruktøren og skuespilleren."

Ashenfelter forudsagde, længe før vineksperterne, at 1989 Bordeaux ville blive århundredets vin — selvom den kun havde ligget 3 måneder på fade. Flere analyser har siden vist, at Ashenfelters model er langt mere præcis end eksperterne. Meget få vinkendere har anerkendt kvaliteten af modellen, men deres prognoser ligger nu langt tættere på modellens forudsigelser.

Forudsætninger

Du behøver ingen forudgående viden om statistik for at gå i gang med dette fag. Det vigtigste er, at du arbejder dig igennem eksemplerne og lærer at tolke resultaterne — selve beregningerne klarer FREESTAT for dig.

Bogen viser undervejs også de formler, der ligger bag metoderne. De er der for dig, der har lyst til at forstå tingene helt til bunds eller har et højt ambitionsniveau — du kan sagtens bruge statistik som værktøj uden at sætte dig ind i dem.

Det er en fordel, hvis du er lidt vant til at regne med brøker og procenter og til at aflæse en graf, samt kender de mest grundlæggende ting i Excel som at taste tal ind og bruge simple formler. Men er du lidt rusten, er det ikke noget problem — vi tager udgangspunkt i eksempler og bygger langsomt op undervejs.

Har du brug for at friske de grundlæggende Excel-færdigheder op, findes der masser af gode introduktioner på nettet. Når du senere skal analysere større datasæt, kan du med fordel vende tilbage til kapitel 29 (Excel), der gennemgår pivottabeller.

Sådan bruger du bogen

Bogen er struktureret i to hovedspor, så den passer til forskellige undervisningsforløb:

1. Freestat Excel-sporet (kapitel 1–18): De første 18 kapitler dækker den grundlæggende statistikpensum og bruger Excel og FREESTAT-programmet til beregningerne. Dette spor følger typisk pensum på finansøkonom- og akademiuddannelserne.
2. R-sporet (kapitel 19–22): Kapitlerne om R, faktoranalyse, klyngeanalyse og tidsrækker er et valgfagsspor primært for finansbachelorstuderende, der ønsker at arbejde mere datavidenskabeligt.

Derudover indeholder bogen:

• Materialer (kapitel 23–25): Podcasts, FREESTAT-programmet, datasæt, skabeloner og en ordliste med centrale begreber.
• Eksamensforberedelse (kapitel 26–28): Videogennemgange af tidligere eksamensopgaver for finansøkonom, akademiuddannelse og finansbachelor.
• Appendix (kapitel 29–32): Excel-guide, Google Analyse, jura/etik og metode.

Bogens indhold

Dette er undervisningsmaterialer og opgaver til faget statistik på akademiniveau.

Bogen er opbygget med praktiske eksempler og links til Excel-filer, så man selv kan regne eksemplerne igennem. Materialet i kapitlerne er gennemgået i indlagte videoer. Der er quizzer, selvtests og spørgsmål til kapitlerne, så man kan teste sig selv. I kapitel 23 finder du en podcast-serie om statistik.

Bogen er bygget op i to spor: Kapitel 1–18 følger fanerne i FREESTAT Excel-programmet — pensum for alle. Kapitel 19–22 er et valgfagsspor baseret på programmeringssproget R, primært for finansbachelorstuderende. Seneste version af FREESTAT kan hentes i kapitel 24 (Materialer).

Tabel 1.1: Bogens fulde kapiteloversigt, opdelt i Freestat Excel-sporet (kapitel 1-18), R-sporet (kapitel 19-22), materialer, eksamensforberedelse og appendix. Brug tabellen til at springe direkte til et kapitel.
Kilde: Egen tilvirkning.